Me ha parecido muy interesante recoger y traducir para el blog el episodio del canal de YouTube Anna Stokke que ha publicado este verano sobre ideas equivocadas y mitos que están muy extendidos en la didáctica de las matemáticas.
Estas ideas y mitos pueden parecer convincentes (seguro que algunas os suenan), pero no están respaldadas por una evidencia de alta calidad. Sin embargo, las ideas que comenta están presentes en muchas de las propuestas didácticas de matemáticas de moda hoy en día. Conocerlas espero que nos ayude a, de forma progresiva, poder ir cambiando la didáctica de las matemáticas, porque en este ámbito no hay prácticamente voces alternativas en España. Si tenemos los resultados que tenemos en PISA, competencias básicas, PAU... es porque hace años que estas son las ideas que se explican de forma mayoritaria en las facultades de educación y son las que guían las concreciones curriculares.
Las ideas equivocadas son cinco:
1. Enseñar múltiples estrategias a los aprendices niveles
2. Apoyarse en la tecnología en vez de aprender hechos y procedimientos.
3. Creer que la comprensión conceptual ha de preceder a los procedimientos.
4. Utilizar la resolución de problemas como el método principal de instrucción.
5. Pensar que la práctica repetida desconecta a los alumnos de las matemáticas.
1) Enseñar múltiples estrategias a los aprendices niveles
Pongamos el caso de que un alumno está aprendiendo a multiplicar números de dos cifras, por ejemplo 26 x 18. En vez de enseñársele un método de confianza que sirva y darle tiempo para practicar con él, se le enseñan cuatro o cinco métodos diferentes:
- El modelo de área
- Materiales concretos como bloques de base 10
- La propiedad distributiva representada de forma horizontal
- El algoritmo estándar
Todos estos métodos son presentados como igualmente válidos para llevar a cabo el cálculo y, en ocasiones, se pone poco énfasis en el método más eficiente que luego se puede extender a más números. El razonamiento que existe detrás es que, exponiendo a los alumnos a múltiples estrategias supuestamente construirán un pensamiento flexible y llegarán la comprensión conceptual. Esto es un problema. Comparar diferentes métodos y determinar cuál es mejor en un contexto determinado puede, efectivamente, promover el pensamiento flexible, pero esto solo es probable que sea efectivo una vez que los alumnos han dominado un método.
No es posible comparar de forma productiva cuatro estrategias si no dominas ninguna de ellas; esto provoca que existan una serie de problemas con enseñar múltiples estrategias a aprendices noveles:
a) Los aprendices noveles sufren una sobrecarga cognitiva cuando se les presentan múltiples métodos a la vez, es confuso.
b) Los aprendices noveles no tienen el conocimiento previo suficiente que les permita evaluar qué métodos es más eficiente o cuál será el que se podrá generalizar con números más grandes. Este tipo de juicio requiere de un conocimiento que no tienen.
c) Distribuir el tiempo de instrucción entre métodos diversos se traduce en menos tiempo para practicar uno concreto. Acaban por no desarrollar la fluidez en ninguno de ellos.
d) Se provoca una sobrecarga curricular; simplemente, no hay suficiente tiempo de clase para enseñar diversos métodos para cada operación y que luego haya la práctica necesaria para desarrollar la fluidez. Este puede ser el motivo de que tantos alumnos tengan dificultades con la aritmética básica cuando tendrían que estar empezando con fracciones o álgebra.
e) Algunas de estas estrategias no están desarrolladas para el cálculo en primer lugar. Los materiales manipulativos como los bloques en base 10 o los diagramas pueden ser útiles al iniciar la instrucción para ilustrar, por ejemplo, el valor posicional, lo que significa y por qué los algoritmos estándar funcionan de la forma que lo hacen, pero son lentos e ineficientes y no sirven para escalar bien.
Es extremadamente importante que los alumnos dejen de lado las representaciones concretas y desarrollen fluidez con los símbolos, porque de eso es de lo que el álgebra, la puerta de entrada a las matemáticas de nivel más alto, y todo lo demás dependen. Lo mismo pasa con las estrategias de expansión para multiplicar o sumar como decir que escribir 256 x 752 es 200 + 50 + 6 x 700 + 50 + 2 para calcularlo. Esto se vuelve extremadamente complicado a medida que los números se hacen más grandes. No se generaliza bien, pero, por contra el algoritmo estándar en vertical lo hace. Es fundamental captar la secuencia bien.
Una vez que los alumnos son precisos y fluidos con un método, exponerlos a métodos alternativos y a estrategias de cálculo mental puede ser muy útil, pero para los aprendices noveles el centro de la enseñanza tendría que ser construir las habilidades fundamentales básicas, centrándose en un procedimiento eficiente y generalizable, dándole la suficiente práctica para que permanezca.
2) Apoyarse en la tecnología en vez de aprender hechos y procedimientos.
Esta segunda idea equivocada afirma que los alumnos no necesitan conocer los hechos y procedimientos numéricos básicos porque la tecnología puede hacer el trabajo. Esta idea hace tiempo que está en el ambiente, pero se ha vuelto más relevante con la aparición de la IA. La lógica es como sigue:
'Los ordenadores pueden calcular, por lo tanto, ¿por qué los niños tendrían que memorizar hechos o aprender procedimientos? ¿No debería usarse el tiempo escolar para resolver problemas y aplicar el pensamiento crítico, con la tecnología rellenando los huecos de los hechos y procedimientos?' Para ver la problemática que conlleva esta forma de pensar, intenta el siguiente ejercicio.
Coge un libro de texto sobre un tema del cual no sepas nada; idealmente una materia que sea acumulativa como matemáticas o química. Si nunca has aprendido cálculo, coge un libro de cálculo y ve a una página en medio del libro e intenta entenderlo y trabajarlo. Observa cada símbolo, busca en internet cada palabra que no reconoces e intenta hacer los problemas al final de la unidad. Seguramente te verás superado rápidamente. Esto es porque aprender nuevos materiales en matemáticas depende de las capas de conocimientos previos que hemos practicado e internalizado.
Nuestra memoria de trabajo, el espacio de trabajo mental con el que pensamos es limitado en duración u capacidad. Cuando un alumno se ha de parar constantemente a buscar hechos, definiciones y procedimientos, está usando esa capacidad limitada para buscar en vez de centrarse en comprender un nuevo concepto. Aprender matemáticas habitualmente requiere conectar diferentes piezas de información en la mente a la vez y esto solo funciona con aquellas que están ya asentadas en la memoria a largo plazo y son fácilmente recuperables. Hay un segundo problema con la tecnología. Los alumnos que no puede hacer un cálculo o procedimiento por ellos mismos habitualmente no pueden decir dónde se equivoca la tecnología.
Independientemente de si es una respuesta sesgada de la IA o un error de entrada de datos, si no posees la habilidad subyacente no hay forma de decir si en la producción hay algún error. Los expertos tienen la intuición y la experiencia para decir cuándo algo no funciona con una respuesta inverosímil generada por la tecnología, pero los noveles no tienen otra elección que aceptarlo. Ahora imagina un alumno que no tienen memorizadas sus tablas de multiplicar intentando factorizar un polinomio de segundo grado como x al cuadrado menos 2x menos 48.
Para factorizarlo, buscar dos números que multiplicados den -48 y sumados den -2. Si el alumno conoce los factores de 48 puede identificar los factores 6 y -8 casi al instante, pero si no domina las multiplicaciones básicas, esta búsqueda se vuelve lenta y laboriosa y la memoria de trabajo se satura rápidamente. La misma historia ocurre cuando los estudiantes aprenden a buscar denominadores comunes para sumar fracciones. Alumnos sin un recuerdo automático de los hechos numéricos básicos trabajan con una seria desventaja para aprender matemáticas posteriormente.
3) Creer que la comprensión conceptual ha de preceder a los procedimientos.
Si hay una frase que se utilice para justificar prácticamente cualquier elección instruccional en matemáticas es la comprensión conceptual. Se dice habitualmente a los profesores que la comprensión conceptual profunda ha de asegurarse antes de que se introduzcan los procedimientos.
La fluidez sin comprensión es de alguna manera algo superficial o efímero. Los procedimientos son representados como algo superficial mientras que la comprensión conceptual es presentada como algo profunda, el Santo Grial de la enseñanza de las matemáticas. Aquí hay un problema.
La comprensión conceptual no goza una definición clara. En la práctica, se suele entender como aprendizaje basado en el descubrimiento, usar materiales manipulativos, con problemas del mundo real, múltiples estrategias; básicamente, con cualquier cosa que no sea enseñanza directa de procedimientos. Y si no se puede definir algo de forma clara, entonces no puedes medirlo de forma fiable tampoco.
Greg Ashman se ha referido claramente a este punto. Esta vaguedad en la definición hace realmente difícil saber qué están midiendo realmente los estudios de investigación que dicen que miden la comprensión conceptual. De hecho, lo que puede parecer como una medida de comprensión conceptual puede que habitualmente mida la fluidez en los procedimientos.
Para ser clara, no estoy intentando decir que no haya que enseñar a los alumnos a comprender las cosas en matemáticas. Las matemáticas no son un conjunto de reglas arbitrarias e inconexas. Cada procedimiento tiene una razón detrás de él.
Los algoritmos estándar se basan en las propiedades de nuestro sistema de valor posicional, y esto debe de ser explicado a los alumnos siempre que lo enseñemos. El problema no es si la comprensión importa. Es el término específico 'comprensión conceptual' que, tal y como es usado, está mal definido, es difícil de medir y se ha utilizado para quitar la prioridad a las habilidades procedimentales de maneras que no están sostenidas por la evidencia.
Dejando de lado los problemas relacionados con la comprensión, existe un estudio bien conocido de Rittle-Johnson y colegas que encontró que el conocimiento procedimental y el conceptual, de acuerdo a sus definiciones, se influyen el uno al otro. Las ganancias en uno suelen producir ganancias en el otro. Por lo tanto, no está sostenido por la evidencia que la comprensión conceptual tenga que ir antes que la procedimental.
Yendo más allá, dado que la comprensión conceptual es difícil de medir y de definir, mientras que la fluidez procedimental es fácil de evaluar, las habilidades procedimentales suelen ser el elemento más práctico a partir del cual empezar especialmente cuando un concepto es genuinamente difícil de entender. Hay que tener caro que la fluidez en un procedimiento habitualmente ayuda a ver los patrones y relaciones de forma más fácil. Con otras palabras: la comprensión habitualmente sigue a la fluidez, no hay ningún problema con esto.
Algunos educadores entiende esto al revés por el sesgo del experto (o 'maldición del conocimiento'). Este significa que suele ser difícil recordar lo complicado que nos fue aprender algo cuando éramos novatos. Los adultos tenemos un conocimiento procedimental fluido que hemos construido a lo largo de los años, por lo que cuando alguien explica que 1/3 dividido por dos equivale a 1/6, la explicación nos parece clara y accesible porque ya conocemos la respuesta. Olvidamos qué se siente al encontrar la explicación sin el fundamento procedimental. Los niños no tienen esa base todavía.
Aquello que a un adulto experto le parece que es un momento '¡Ajá!', es habitualmente incomprensible para un niño que lo ve por primera vez. Y, ahora mismo, parece que tenemos lo peor de ambos mundos: estudiantes que ni comprenden los procedimientos ni tienen la fluidez procedimental. La evidencia apunta hacia priorizar el desarrollo de la fluidez procedimental mientras se remarcan también las propiedades básicas de las operaciones y se incide en el significado.
4) Utilizar la resolución de problemas como el método principal de instrucción.
Esta es quizás una de las ideas más influyentes en la educación matemática moderna. Se piensa que las matemáticas se aprenden mejor cuando se enfocan a través de la resolución de problemas. Esto habitualmente implica que los alumnos tengan que enfrentarse a problemas de matemáticas para los cuales todavía no tienen las habilidades mínimas para resolverlos; estos se suelen trabajar en grupos con la expectativa de que hagan lluvia de idea de posibles soluciones. 'Esfuerzo productivo' se lo suele llamar.
A veces incluso se dice que las habilidades básicas que falten para resolver los problemas se desarrollan en el proceso o que los alumnos pueden cubrirlas usando tecnología. Sin embargo, los expertos en resolución de problemas no son expertos porque sean mejores razonando. Son expertos porque han aprendido un montón de conocimientos relacionados con el dominio específico del problema a resolver.
Hechos, definiciones, procedimientos, técnicas de resolución de problemas... Todos están en la memoria a largo plazo. Cuando un experto ve un nuevo problema, se basa en el conocimiento almacenado para reconocer patrones y elegir técnicas apropiadas. Los noveles no pueden hacer esto. No tienen el conocimiento de base en el que apoyarse, por lo que emplean técnicas ineficaces o la prueba y error.
Aquí es muy útil utilizar la jerarquía de la instrucción como marco de trabajo. Esta describe las etapas a través de las cuales los alumnos se mueven al adquirir nuevos conocimientos. En primer lugar, está la etapa de la adquisición, en la que los nuevos aprendices necesitan instrucción explicita, que el profesor modele, ejemplos trabajados y andamiaje para ser más precisos.
Viene entonces la etapa de la fluidez, en la que necesitan mucha práctica y feedback para que la habilidad no sea solo precisa sino también se lleve a cabo sin esfuerzo. La resolución de problemas complejos solo resulta productiva una vez que esas etapas primeras son sólidas. Cuando los estudiantes tienen que enfrentarse a problemas antes de tener las habilidades básicas para solucionarlos, se frustran y no lo entienden.
La resolución de problemas en matemáticas es importante, y es a dónde queremos llegar. Ser capaz de trabajar en problemas no rutinarios y aplicar nuestro conocimiento a contextos no familiares es importante, pero, otra vez, la secuenciación importa mucho. Trabajar con problemas complejos hace que los alumnos sean mejores resolutores de problemas, pero solo una vez que tienen las habilidades básicas y la fluidez para afrontarlos de forma productiva.
5) Pensar que la práctica repetida desconecta a los alumnos de las matemáticas.
Nadie pone en duda que mejoras en deporte o música a través de la práctica. Es estas disciplinas, la práctica repetida se fomenta y se celebra. Nadie se siente mal porque niños que juegan a hockey hagan ejercicios repetitivos o que los estudiantes de música practiquen las partituras en el piano.
Sin embargo, en matemáticas se ha tendido a restar importancia a la práctica y a desalentar que se repitan las cosas. Es un mensaje muy contraproducente para enviar a los profesores y hace daño de verdad. En primer lugar, la manera de mejorar en matemáticas es a través de un montón de práctica.
Pero también, los alumnos se motivan y se implican más en matemáticas cuando ven que son buenos en ellas, y esto viene de una instrucción bien diseñada asociada a una práctica habitual. Por esto es tan importante la práctica en matemáticas. Las matemáticas son realmente jerárquicas.
Cada habilidad se construye con las habilidades que vinieron antes. Resolver ecuaciones algebraicas se basa en la fluidez con las fracciones. La fluidez con estas depende de la fluidez con los hechos numéricos básicos.
Cuando los alumnos no consiguen suficiente práctica para dominar un concepto, el hueco persiste y el material siguiente se vuelve más difícil. Esto es por lo que los alumnos empiezan a perder su confianza en su habilidad para hacer matemáticas. Actividades que parecen motivadores en la superficie, pero que actualmente no construyen las habilidades básicas roban a los alumnos la satisfacción que viene del logro matemático genuino.
Como con la música o los deportes, la exposición repetida y la práctica deliberada son lo que lleva a los alumnos a la maestría que les permitirá moverse al siguiente nivel con confianza. Por lo tanto, abandonemos la idea de que la práctica repetida es aburrida, porque a lo que lleva es a que disfruten de las matemáticas.
El podcast sigue unos minutos más en los que Stokke comenta alguna de las prácticas más efectivas y reafirma la importancia que tiene que enseñemos matemáticas bien a todos los alumnos. A continuación las referencias originales de la autora que recomiendo leer y consultar:
